① 原理 · 为什么这样算
🔊 朗读
判别式 Δ = b² − 4ac。当 Δ > 0 时方程有两个不相等的实数根；Δ = 0 时有两个相等的实数根；Δ < 0 时没有实数根。
根与系数的关系（韦达定理）：设 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ = −b/a，x₁·x₂ = c/a。
利用判别式可以判断方程根的情况，也可以求字母参数的取值范围。
② 例题 · 由浅入深
1基础方程 2x² − 3x + 1 = 0 的判别式 Δ = b² − 4ac 是多少？
- a = 2，b = −3，c = 1
- Δ = (−3)² − 4 × 2 × 1
- = 9 − 8 = 1
2提高已知方程 x² − 7x + 6 = 0 有实数根，求两根之和 x₁ + x₂。
- 韦达定理：x₁ + x₂ = −b/a
- a = 1，b = −7
- x₁ + x₂ = −(−7) = 7
3挑战方程 x² + 2x + 5 = 0 的判别式是多少？
- a = 1，b = 2，c = 5
- Δ = 2² − 4 × 1 × 5
- = 4 − 20 = −16
③ 练一练 · 自动出题 / 判对错 / 看步骤
已完成 0/0
④ 举一反三 · 自己出题再算一遍
会了这一类，换个数字再来一道：先自己算，再点「看步骤」核对思路。真正的掌握是能自己出题。
⑤ 拓展 · 挑战
课内知识的延伸与竞赛入门题，题干与解法均据课内方法自行编写。先动笔，再点开详解对照思路；几何题尽量配图。
1课内延伸已知方程 x² − 3x + m = 0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围。
- 方程有两个不相等的实数根，说明判别式 Δ > 0。
- Δ = (−3)² − 4×1×m = 9 − 4m > 0。
- 解得 m < 9/4。
⑥ 各教材版本中的位置
同一个知识点，不同教材版本安排的年级和章节不完全一样。下表中带你版本名的，就是它在你那本课本里的位置：
人教版九年级 · 二十一 一元二次方程
相关知识
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