实数与无理数
分清有理数和无理数，知道实数就是有理数与无理数的统称，能与数轴上的点一一对应。
① 原理 · 为什么这样算
🔊 朗读
有理数都能写成两个整数之比（分数形式），包括整数和有限小数、无限循环小数。
无理数是无限不循环小数，不能写成分数。常见三类：π 这类；开不尽方的数如 √2、∛5；有规律但不循环的小数如 0.1010010001…
注意 √9 = 3、∛8 = 2 都是有理数——先化简再判断，别看到根号就说无理数。
实数 = 有理数 + 无理数。每个实数都能在数轴上找到唯一的点，反过来数轴上每个点也对应唯一实数。
② 例题 · 由浅入深
1基础下列各数中，哪些是无理数：π、√2、√9、0.5、22/7？
- π 是无限不循环小数，无理数。
- √2 开不尽方，无理数。
- √9 = 3，是有理数。
- 0.5 是有限小数，22/7 是分数，都是有理数。
- 所以无理数是 π 和 √2。
2提高判断：所有的实数都可以用数轴上的点表示。
- 实数与数轴上的点一一对应。
- 所以这句话正确。
3挑战比较 √10 与 3 的大小。
- 因为 3² = 9 < 10，
- 所以 √10 > 3。
③ 练一练 · 自动出题 / 判对错 / 看步骤
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1. 2π 是无理数。这个说法对不对？
答案：对
- 2π 含 π，π 是无限不循环小数，所以它是无理数
- 所以说法正确
2. √49 是无理数。这个说法对不对？
答案：错
- √49 = 7，是整数，属于有理数
- 所以说法错误，它是有理数
3. ∛125 是无理数。这个说法对不对？
答案：错
- ∛125 = 5，是整数，属于有理数
- 所以说法错误，它是有理数
4. ∛5 是无理数。这个说法对不对？
答案：对
- ∛5 开不尽方，是无限不循环小数，属于无理数
- 所以说法正确
5. √0.25 是无理数。这个说法对不对？
答案：错
- √0.25 = 0.5，是有限小数，属于有理数
- 所以说法错误，它是有理数
6. √64 是无理数。这个说法对不对？
答案：错
- √64 = 8，是整数，属于有理数
- 所以说法错误，它是有理数
④ 举一反三 · 自己出题再算一遍
会了这一类，换个数字再来一道：先自己算，再点「看步骤」核对思路。真正的掌握是能自己出题。
⑤ 拓展 · 挑战
课内知识的延伸与竞赛入门题，题干与解法均据课内方法自行编写。先动笔，再点开详解对照思路；几何题尽量配图。
1课内延伸已知 a、b 是两个连续的整数，且 a < √17 < b，求 a + b。
- 4² = 16 < 17 < 25 = 5²，所以 4 < √17 < 5。
- 因此 a = 4，b = 5，a + b = 9。
⑥ 各教材版本中的位置
同一个知识点，不同教材版本安排的年级和章节不完全一样。下表中带你版本名的，就是它在你那本课本里的位置：
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