2022 年北京市初中学业水平考试数学试卷

1. 按面来分：圆锥是一个圆底面＋一个顶点，侧面是曲面。
2. A 的上下底面是两个等圆、侧面是曲面，是圆柱；C 底面是三角形，是三棱锥；D 是完全的球。
3. 只有 B 是圆锥。

💡 这类题只抓两条：底面是什么形状、侧面是曲面还是平面。

1. 2 628.83 亿＝262 883 000 000，整数部分共 12 位。
2. 写成 a×10ⁿ 时 1≤a<10，小数点要左移 11 位，所以 n=11，a=2.628 83。
3. 结果是 2.628 83×10¹¹，选 B。

💡 先数原数的整数位数 k，n 就是 k−1；单位“亿”“万”要先换成纯数字再数。

1. 两个角的两条边分别互为反向延长线，是一对对顶角。
2. 图中的量角器显示其中一个角是 30°，对顶角相等，所以∠1=30°。
3. 选 A。

💡 对顶角相等、邻补角互补，量角器读数要注意从零刻度开始看。

1. 由图读出 −2<a<−1，1<b<2。
2. a 是负数、b 是正数，所以 a<b，A、B、C 全错。
3. −a 是 a 的相反数，落在 1 与 2 之间，位于 b 的右边，即 −a>b，选 D。

💡 数轴上比较大小看“谁在右边”；比较−a 与 b 先把 −a 的位置标出来再比。

1. 盒中一红一绿，摸两次不放回，把所有结果列成表：(红,红)、(红,绿)、(绿,红)、(绿,绿)共 4 种。
2. 其中“第一次红、第二次绿”只有 1 种。
3. P=1/4，选 A。

💡 不放回的两步试验别漏“(红,红)”这种自己跟自己配的组合，列全 4 种再数。

1. 两个相等的实数根⇔Δ=0。
2. Δ=b²−4ac=1²−4×1×m=1−4m，令 1−4m=0。
3. 解得 m=1/4，选 C。

💡 “两个相等实根”就用 Δ=0；注意 a、b、c 的符号别抄错。

1. 图形由五角星和圆叠成，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴。
2. 但要让整个图形重合，这条直线必须同时是五角星的对称轴。
3. 五角星有 5 条对称轴，所以这个图形只有 5 条，选 D。

💡 组合图形的对称轴要取“两个图形的公共对称轴”，不能只数其中一个。

1. ①路程一定、匀速行驶，剩余路程随时间均匀减少，是一次函数，正确。
2. ②水量一定、匀速放水，剩余水量也随时间均匀减少，是一次函数，正确。
3. ③周长 C 一定时，一边为 x，另一边为 C/2−x，面积 y=x(C/2−x)=−x²+(C/2)x，是二次函数，图象为抛物线，③错。
4. 所以正确的是①②，选 A。

💡 先看“两个量的变化是否均匀”，均匀就是一次函数；面积、乘积类多半是二次函数。

1. 二次根式有意义的条件是被开方数非负。
2. x−8≥0，解得 x≥8。

💡 看到根号先写“被开方数≥0”，解完不等式即可，别写成 x>8。

1. 先提公因式：xy²−x=x(y²−1)。
2. 括号里是平方差，继续分解：y²−1=(y+1)(y−1)。
3. 结果是 x(y+1)(y−1)。

💡 因式分解要“提到不能再提、分到不能再分”，平方差是必查的一步。

1. 去分母：方程两边同乘 x(x+5)，得 2x=x+5。
2. 解得 x=5。
3. 检验：x=5 时 x(x+5)=50≠0，所以 x=5 是原方程的解。

💡 分式方程必须检验分母是否为零，这一步是给分点。

1. k>0，图象在第一、三象限，在每一支上 y 随 x 增大而减小。
2. A(2,y₁)、B(5,y₂) 都在第一象限的同一支上，且 2<5。
3. x 越大 y 越小，所以 y₁>y₂。

💡 先看两点是否在同一支上；同一支才可以直接用增减性比较。

1. 表里销量最多的是 39 码，40 双样本中有 12 双。
2. 用样本频率估计总体：12/40=0.3。
3. 400×0.3=120（双）。

💡 “用样本估计总体”就是拿样本里的比例去乘总量，先把比例算出来再乘。

1. 过 D 作 DF⊥AC 于 F。
2. AD 平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，由角平分线性质得 DF=DE=1。
3. S△ACD=½·AC·DF=½×2×1=1。

💡 角平分线上的点到两边距离相等，遇到“角平分线＋一条垂线”就补另一条垂线。

1. 矩形中∠ABC=90°，Rt△ABC 里 AC=5、AB=3，由勾股定理 BC=4，所以 AD=4。
2. AD∥BC 得∠EAF=∠BCF、∠AEF=∠CBF，故△AEF∽△CBF。
3. 对应边成比例：AE/CB=AF/CF=1/4，即 AE/4=1/4，AE=1。

💡 矩形＋对角线相交，先找“平行＋对顶”凑出相似，再用对应边比例求线段。

1. (1) 总载重不超过 19.5 吨，且Ⅰ号产品在 9~11 吨之间。逐组试算可得 ABC、AD、ABE、ACD、ACE、BCD 等方案，例如 ABC 的Ⅰ号为 10 吨，符合要求。
2. (2) 要Ⅱ号产品最多：先取 E（Ⅱ号 6 吨），再在 C、D 中取 C，最后为保证Ⅰ号不少于 9 吨取 A。
3. 所以方案是 ACE。

💡 这类题建议先列表算出每个包裹的两类质量，再按“先保硬约束、再优化目标”的顺序挑。

1. (π−1)⁰=1。
2. 4sin45°=4×(√2/2)=2√2，√8=2√2，|−3|=3。
3. 原式=1+2√2−2√2+3=4。

💡 按“零指数→特殊角三角函数→化最简二次根式→绝对值”逐项化简，能约掉的先约掉。

1. 由①2+x>7−4x 得 5x>5，x>1。
2. 由②x<(4+x)/2 得 2x<4+x，x<4。
3. 取公共部分：1<x<4。

💡 分别解、再取交集，最后画个数轴确认端点是否取到。

1. 原式=x²+2x+x²+2x+1=2x²+4x+1。
2. 由 x²+2x−2=0 得 x²+2x=2，两边乘 2：2x²+4x=4。
3. 所以原式=4+1=5。

💡 这类题不求出 x，而是把条件凑成要用的整体（这里是 2x²+4x），再整体代入。

1. 方法一：过 A 作 DE∥BC。
2. 由 DE∥BC 得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（内错角）。
3. 点 A 在 DE 上，∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，代入即∠B+∠BAC+∠C=180°。
4. 方法二同理：过 C 作 CD∥AB，∠B+∠BCD=180°，∠A=∠ACD，相加即得。

💡 证角和的通用套路是“作平行线把角搬到一个平角上”，两种辅助线本质相同。

1. (1) 平行四边形中 AO=CO、BO=DO；AE=CF 得 AO−AE=CO−CF，即 OE=OF。
2. OE=OF 且 OB=OD，对角线互相平分，所以 EBFD 是平行四边形。
3. (2) AB∥DC 得∠BAC=∠DCA；已知∠BAC=∠DAC，所以∠DCA=∠DAC，DA=DC，▱ABCD 是菱形。
4. 菱形对角线互相垂直，即 BD⊥AC，于是 ▱EBFD 的对角线互相垂直，它是菱形。

💡 判定菱形两条路：一组邻边相等，或对角线互相垂直；这一题第(2)问是“先证大菱形、再传给小四边形”。

1. (1) 把 (4,3)、(−2,0) 代入 y=kx+b：4k+b=3，−2k+b=0，解得 k=½，b=1。
2. 所以 y=½x+1；令 x=0 得 y=1，即 A(0,1)。
3. (2) 要 x>0 时恒有 x+n>½x+1，即 n>1−½x 对一切 x>0 成立，右端最大趋近 1，所以 n≥1。

💡 “对每一个 x 都成立”要转化为“n 大于右端的最大值”，端点取等时要单独验一下。

1. (1) m=(10+10+10+9+9+8+3+9+8+10)÷10=8.6。
2. (2) 折线图上看甲的波动明显比乙小，方差更小，说明评委对甲的评价更一致，填甲。
3. (3) 去掉一个最高分 10 和一个最低分 3 后，丙的 8 个分数为 10,10,9,9,9,8,8,10，平均分 9.125，高于甲、乙，填丙。

💡 方差小＝稳定；去掉最高最低分后比平均，要真算一遍，不能凭感觉。

1. (1) AB 是直径且 AB⊥CD，由垂径定理得弧 AC=弧 AD，所以∠BAC=∠BAD。
2. 同弧所对圆心角是圆周角的两倍：∠BOD=2∠BAD=2∠BAC。
3. (2) F 是 AC 中点且 O 是圆心，故 OF⊥AC，又 AB⊥CD、DF 过圆心，可得 DA=DC=AC，△ACD 为等边三角形。
4. 于是∠ODC=30°，再由 AB 为直径得∠BDA=90°、∠BDC=30°，所以∠OCD=∠ODC=∠BDC，OC∥DE。
5. CE⊥DE ⇒ OC⊥CE，OC 为半径，故 CE 是⊙O 的切线。

💡 证切线只有两条路：有交点就连半径证垂直，没交点就作垂线证等于半径。这一题走的是前者。

1. (1) 表中 x=8 时 y 最大，为 23.20，所以顶点是 (8,23.20)，h=8，k=23.2。
2. 设 y=a(x−8)²+23.2，代入 (11,22.75)：22.75=9a+23.2，得 a=−0.05。
3. 所以 y=−0.05(x−8)²+23.2。
4. (2) 第二次的 a=−0.04，|a| 更小开口更大、顶点更靠右上，落地更远，所以 d₁<d₂。

💡 开口大小看|a|：|a| 越小开口越宽、飞得越远；求 a 只需再代一个点。

1. (1) c=2 时 y=ax²+bx+2，令 x=0 得交点 (0,2)。
2. m=n 说明 (1,m)、(3,n) 关于对称轴对称，t=(1+3)/2=2。
3. (2) a>0 开口向上，m<n<c 说明 x=1 到对称轴比 x=3 更近、对称轴在 (1,3) 之内：由 m<n 得 t<2，由 n<c 得 t>3/2。
4. (x₀,m) 与 (1,m) 对称，x₀+1=2t，故 x₀=2t−1，代入 3/2<t<2 得 2<x₀<3。

💡 抛物线比大小记住“离对称轴越远函数值越大（a>0）”；同一个 y 对应的两个 x 关于对称轴对称，这是求 x₀ 的关键。

1. (1) BC=CF、CD=CE、∠BCD=∠FCE（对顶角），故△BCD≌△FCE，得∠BDC=∠E，BD∥EF。
2. AF⊥EF 且 BD∥EF，所以 BD⊥AF。
3. (2) 延长 BC 到 F 使 CF=BC，连 AF、EF；∠ACB=90° 时 AC 垂直平分 BF，故 AF=AB。
4. 由(1) BD=EF，代入 AB²=AE²+BD² 得 AF²=AE²+EF²，△AEF 是直角三角形，∠AEF=90°，于是∠BHE=90°。
5. Rt△DEH 中 CD=CE，CH 是斜边中线，CH=½DE=CD。

💡 看到 a²=b²+c² 的等式，第一反应是“凑直角三角形用勾股逆定理”；中点＋直角想到斜边中线等于斜边一半。

1. (1)① M(1,1)，P(−2,0) 右移 1、上移 1 得 P′(−1,1)，再作 P′ 关于 N 的对称点即 Q。
2. ② P′(−1,1)、P(−2,0) 得∠P′PO=45°，PP′=√2；又∠MOx=45°，故 PP′∥ON。
3. 于是△QNT∽△QP′P，配合 NQ=NP′ 可算出 NT=√2/2=OM。
4. (2) PP′ 恒等于 OM（长度 1、方向相同），Q 在以 S 为圆心、半径 2t−1 的圆上，故 PQ 的最大值与最小值之差为 2r=4t−2。

💡 新定义题先把“平移＋中心对称”翻译成坐标：P′=(x+a,y+b)，Q=2N−P′；取值范围问题抓住“Q 的轨迹是一个圆”。