2021 年北京市初中学业水平考试数学试卷

1. 展开图由两个完全相同的圆和一个长方形组成。
2. 长方形卷起来是侧面，两个圆分别是上下底面，合起来是圆柱。
3. 选 B。

💡 看展开图先数“几个面、什么形状”：两圆＋一长方形=圆柱，一圆＋一扇形=圆锥。

1. 169 200 000 000 的整数部分共 12 位。
2. 科学记数法 1≤a<10，小数点左移 11 位，得 1.692×10¹¹。
3. 选 C。

💡 先化成纯数字再数位数，n 等于整数位数减 1。

1. 点 O 在直线 AB 上，∠AOC 与∠BOC 是邻补角，∠BOC=180°−120°=60°。
2. OC⊥OD 得∠COD=90°，所以∠BOD=90°−60°=30°。
3. 选 A。

💡 一条直线上出现“垂直＋已知角”，用 180° 和 90° 两次相减就出来了。

1. n 边形内角和为 (n−2)×180°。
2. 边数越多内角和越大，四个选项中正十边形边数最多。
3. 选 D。

💡 比较内角和不必算具体度数，只看边数的多少。

1. 由图读出 −3<a<−2，0<b<1。
2. A 错：a<−2；C 错：a+b<0（负数绝对值更大）；D 错：b−a>0。
3. B 对：|a| 在 2 与 3 之间，大于 b。
4. 选 B。

💡 数轴上比大小看位置；遇到 |a| 就先把它换算成一段长度再比。

1. 两枚硬币的结果有 4 种：正正、正反、反正、反反。
2. “一正一反”有 2 种。
3. P=2/4=1/2，选 C。

💡 两枚硬币要分清“正反”和“反正”是两种不同结果，别数成 3 种。

1. 1 936<2 021<2 025，即 44²<2 021<45²。
2. 开平方得 44<√2021<45。
3. 所以 n=44，选 B。

💡 估算平方根就找它夹在哪两个相邻整数的平方之间。

1. 周长为 10，相邻两边之和为 5，所以 y=5−x，是一次函数。
2. 面积 S=x(5−x)=−x²+5x，是二次函数。
3. 选 A。

💡 先写出关系式再判断类型：一次式→一次函数，含 x²→二次函数。

1. 被开方数非负：x−7≥0。
2. 解得 x≥7。

💡 根号有意义只要求被开方数≥0。

1. 提公因式 5：5x²−5y²=5(x²−y²)。
2. 括号里用平方差：x²−y²=(x+y)(x−y)。

💡 先提公因式再用公式，顺序反了容易漏分解。

1. 两边同乘 x(x+3)：2x=x+3。
2. 解得 x=3。
3. 检验：x=3 时 x(x+3)=18≠0，成立。

💡 分式方程解完必须验根，分母为零的要舍去。

1. 点在图象上，横纵坐标乘积都等于 k。
2. 由 A(1,2) 得 k=2。
3. 由 B(−1,m) 得 −1×m=2，m=−2。

💡 反比例函数的核心是 xy=k，用已知点求出 k 就全解决了。

1. 切线垂直于过切点的半径：∠PAO=∠PBO=90°。
2. 四边形 PAOB 内角和 360°：∠AOB=360°−90°−90°−50°=130°。

💡 见切线就连半径，得到两个直角，再用四边形内角和。

1. 矩形中 AD∥BC，即 AF∥EC；又 AF=EC，所以 AECF 是平行四边形。
2. 平行四边形再加“一组邻边相等”就是菱形。
3. 所以填 AE=EC（或 AF=FC 等）即可。

💡 判定菱形两条常用路：一组邻边相等，或对角线互相垂直；开放题写出一个就行。

1. 两组数据的平均数都是 13。
2. 甲的数据 11,12,13,14,15 离 13 更远，波动更大。
3. 波动越大方差越大，所以 s²甲>s²乙。

💡 方差看“离平均数有多散”，不用死算也能比出来。

1. 设分给 A 生产线 a 吨，则 B 为 5−a 吨；时间相同：4a+1=2(5−a)+3。
2. 解得 a=2，所以 A、B 吨数之比为 2∶3。
3. 第二天：4(2+m)+1=2(3+n)+3，整理得 4m−2n=0，即 m/n=1/2。

💡 “加工时间相同”就是列等式的依据，把两条生产线的式子直接相等。

1. 2sin60°=2×(√3/2)=√3，√12=2√3，|−5|=5。
2. (π+√2)⁰=1。
3. 原式=√3+2√3+5−1=3√3+4。

💡 零指数恒为 1，√12 要先化成 2√3 才能合并。

1. 由①4x−5>x+1 得 3x>6，x>2。
2. 由②(3x−4)/2<x 得 3x−4<2x，x<4。
3. 取交集：2<x<4。

💡 含分母的不等式先两边乘正数去分母，注意不等号方向不变。

1. 原式=a²−2ab+b²+2ab+b²=a²+2b²。
2. 由 a²+2b²−1=0 得 a²+2b²=1。
3. 所以原式=1。

💡 先化简再代入，往往化简完正好等于条件里的整体。

1. (1) 分别以 C、A 为圆心、大于 ½CA 的长为半径画弧，两弧交于两点，连线与 CA 的交点就是中点 D。
2. (2) 由作图知 BA=BC=10 步，D 是 CA 的中点。
3. 等腰三角形底边上的中线也是高，所以 CA⊥DB，依据是“等腰三角形三线合一”。

💡 这类“作法＋填空”题，填空答案往往就是作图的直接结论：等腰＋中点→三线合一。

1. Δ=(−4m)²−4×1×3m²=4m²≥0，所以方程总有两个实数根。
2. 因式分解 x²−4mx+3m²=(x−m)(x−3m)=0，得 x₁=3m，x₂=m。
3. 由 m>0 得 3m>m，两根之差 3m−m=2，所以 m=1。

💡 含字母系数的方程先算 Δ 判根的情况；能因式分解就别用求根公式。

1. (1) ∠ACB=∠CAD=90° 得 AD∥EC，又 AE∥DC，两组对边分别平行，AECD 是平行四边形。
2. (2) Rt△BEF 中 BE=5，cos B=BF/BE=4/5，得 BF=4，勾股定理得 EF=3。
3. AE 平分∠BAC，且 EC⊥AC、EF⊥AB，由角平分线性质得 EC=EF=3。
4. 平行四边形对边相等，AD=EC=3。

💡 角平分线＋两边都有垂线，立刻想到“距离相等”，这是本题第(2)问的关键一步。

1. (1) 平移不改变 k，所以 k=½；向下平移 1 个单位即过 (0,−1)，b=−1。
2. 解析式为 y=½x−1。
3. (2) 需 x>−2 时 mx>½x−1 恒成立，即 (m−½)x>−1 对一切 x>−2 成立。
4. x>0 时要求 m≥½；−2<x<0 时要求 m≤1，取交集得 ½≤m≤1。

💡 “对每一个 x 都成立”要分 x 的正负讨论，端点值代回验证是否取等。

1. (1) AD 是直径且 AD⊥BC，由垂径定理得弧 BD=弧 CD，同弧所对圆周角相等，故∠BAD=∠CAD。
2. (2) AD⊥BC 且过圆心，所以 BE=CE；O、E 分别是 BG、BC 的中点，OE 是△BGC 的中位线，GC=2OE=6。
3. Rt△BOE 中 OB=5、OE=3，得 BE=4；由 AE∥CG 得△AOF∽△CGF。
4. OF/FG=OA/GC=5/6，且 OF+FG=5，解得 OF=25/11。

💡 圆里求线段常用两招：垂径定理造中点、中位线或相似把长度搬过去。

1. (1) 25 个数据的中位数是第 13 个，直方图显示它落在 10≤x<12 组，该组数据排序后第 13 个是 10.1，故 m=10.1。
2. (2) 甲的平均数 10.8 高于其中位数 10.1，说明高于平均数的不足一半但接近，p₁=12；乙的平均数 11.0 低于中位数 11.5，说明高于平均数的超过一半，p₂>12.5，故 p₁<p₂。
3. (3) 用样本平均数估计总体：11.0×200=2 200（百万元）。

💡 平均数与中位数的大小关系能反映数据的偏斜方向，这类“比个数”的题就看这个。

1. (1) 代入 (1,3)、(3,15)：a+b=3，9a+3b=15，解得 a=1，b=2。
2. 对称轴 x=−b/(2a)=−2/2=−1。
3. (2) 抛物线开口向上且过原点；mn<0 且 m>0 时 n<0，与“开口向上过原点”矛盾（此时 (1,m) 在 x 轴上方、(3,n) 在下方不可能同时成立），舍去。
4. 故 m<0、n>0，说明 x=1 时在 x 轴下方、x=3 时在上方，对称轴 d 满足 0.5<d<1.5。
5. 三点的横坐标 2、−1、4 距对称轴由近及远，故 y₂<y₁<y₃。

💡 开口向上的抛物线“离对称轴越远函数值越大”；先由 mn<0 定位对称轴范围，再比距离。

1. (1) 旋转 α 得∠DAE=α=∠CAB，两边同时减去∠BAD，得∠BAE=∠CAD。
2. 又 AB=AC、AE=AD，故△ABE≌△ACD（SAS），BE=CD。
3. M 是 BC 中点，BM=CM=CD+MD=BE+MD。
4. (2) 过 E 作 EH⊥AB 交 BC 于 H。由全等得∠ABE=∠C=∠ABC，故 BH=BE=CD。
5. BM=CM 推出 HM=DM；又 EH∥MN（都垂直于 AB），得 ND/NE=MD/MH=1，即 NE=ND。

💡 旋转题先写“对应角相等、对应边相等”，第(2)问的关键是造平行线，把两条线段的比例搬到同一条直线上。

1. 把三条线段分别看成绕 A 旋转后能落到⊙O 上的弦：B₁C₁、B₃C₃ 长度或位置对不上，只有 B₂C₂ 可以，答案是 B₂C₂。
2. (2) BC=1 作为⊙O 的弦，圆心到它的距离是 √3/2；旋转不改变长度，所以 A 到直线 BC 的距离也是 √3/2，点 A 在 y 轴上，故 t=±√3。
3. (3) B、C 分别在以 A 为圆心、1 和 2 为半径的圆上，只要这两个圆与⊙O 有公共点即可。
4. OA 最小时点 O 落在半径 1 的圆上，OA=1；此时 AC 为⊙O 的直径，∠AB′C′=90°，由勾股定理得 BC=√3。
5. OA 最大时点 O 落在半径 2 的圆上，OA=2；作 C′D⊥OA，用勾股定理两次求得 BC=√6/2。

💡 新定义题把它翻译成“圆与圆的位置关系”：弦长定了，圆心到弦的距离就定了，剩下的都是两圆相交/相切。