2024 年北京市初中学业水平考试数学试卷

1. 题干要“既是轴对称图形又是中心对称图形”，两个条件同时满足才行。
2. A 是平行四边形：绕对角线交点转 180° 与自身重合，但没有对称轴。
3. C 是直角三角形、D 是倒三角形：都只有对称轴，转 180° 后不能重合。
4. B 是长方形：两条对称轴，绕中心转 180° 也重合，选 B。

💡 判中心对称看“转 180° 能不能盖回自己”，判轴对称看“能不能沿某条直线翻折重合”。平行四边形和等边三角形是最常考的两个反例。

1. OE⊥OC，所以 ∠COE＝90°。
2. A、O、B 在一条直线上，∠AOC＝58°，所以 ∠BOC＝180°－58°＝122°。
3. ∠EOB＝∠BOC－∠COE＝122°－90°＝32°。

💡 两条直线相交必出平角 180°，垂直就是拆出一个 90°，这类题基本都是减一减就出来。

1. 从数轴读出：a 在原点右侧且离原点更远，b 在原点左侧、介于 －2 与 －1 之间，且 a＞|b|。
2. A：b＜－1，所以 b＞－1 不成立。
3. B：|b|＜2，不成立。
4. D：a＞0、b＜0，ab＜0，不成立。
5. C：a＞|b|，所以 a＋b＞0，成立，选 C。

💡 先在数轴上标出“到原点距离”再比大小，比直接看箭头方向靠谱得多。

1. 两个相等实根 ⇔ Δ＝b²－4ac＝0。
2. 这里 a＝1，b＝－4，c＝c，Δ＝16－4c＝0。
3. 解得 c＝4，选 C。

💡 Δ＞0 两不等根，Δ＝0 两等根，Δ＜0 无实根。记牢这三句，判别式题不会错。

1. 有放回地取两次，第一次 2 种、第二次 2 种，共 2×2＝4 种等可能结果：红红、红白、白红、白白。
2. 两次都白只有 1 种。
3. 概率＝1/4，选 D。

💡 “放回并摇匀”意味着两次独立，结果数相乘；若改成“不放回”，总数就变成 2 种、白白为 0，别搞混。

1. 4×10¹⁷ 的 5 倍是 20×10¹⁷。
2. 科学记数法要求 1≤|a|＜10，所以把 20 写成 2×10¹，再乘 10¹⁷。
3. m＝2×10¹⁸，选 D。

💡 算完先看前面的数是否落在 1 到 10 之间，不在就往前挪一位、指数加一。

1. 由作图：OC＝O′C′，OD＝O′D′（同圆半径），CD＝C′D′（以 C′ 为圆心、CD 为半径画弧）。
2. 三组对应边都相等，依据是“边边边”，选 A。
3. 弦长 CD＝C′D′ 是关键一步，很多人会漏掉这条。

💡 尺规作图题先找出“同一个圆里半径相等”这类隐含条件，全等依据基本就定了。

1. 菱形绕对角线交点 O 转 90°，与原来关于 O 高度对称，八边形的每条边都对应相等（可由三角形全等证明），①成立。
2. 但相邻内角并不相同，②不成立。
3. O 到每条边所在直线的距离都相等（O 在每条边的角平分线上），④成立。
4. O 到各顶点的距离不相等，③不成立。
5. 所以正确的是 ①④，选 B。

💡 旋转类结论题，先抓“到边”和“到点”这两种距离的区别：到边常相等，到顶点一般不相等。

1. 二次根式有意义 ⇔ 被开方数非负。
2. x－9 ≥ 0，得 x ≥ 9。

💡 只考“被开方数≥0”。若分母里还有根式，别忘了再补一条“被开方数＞0”。

1. 先提公因式 x：x³－25x＝x(x²－25)。
2. 括号里是平方差，x²－25＝(x＋5)(x－5)。
3. 所以结果是 x(x＋5)(x－5)。

💡 因式分解的顺序固定：先提公因式，再看能不能用公式，最后检查是否分解到底。

1. 两边同乘 x(2x＋3)，得 x＋(2x＋3)＝0。
2. 3x＝－3，x＝－1。
3. 检验：2x＋3＝1≠0，x＝－1≠0，所以 x＝－1 是原方程的解。

💡 分式方程必须写检验，去掉分母可能引入增根，这一步是给分点。

1. 点 (3, y₁) 在图象上，y₁＝k/3。
2. 点 (－3, y₂) 在图象上，y₂＝－k/3。
3. 两式相加，y₁＋y₂＝0。

💡 反比例函数上看“横坐标互为相反数”的两点，纵坐标也互为相反数，和必然是 0。

1. 一等品要求 49.98 ≤ x ≤ 50.02，逐个核对 10 个数据：除 50.03 和 49.97 外，其余 8 个都合格。
2. 样本中一等品占 8/10。
3. 用样本估计总体：200×8/10＝160 个。

💡 “估计总体的个数”＝总数×样本频率，别把样本个数当答案。

1. 直径 AB 平分非直径弦 CD，由垂径定理得 AB⊥CD。
2. ∠D＝35° 是圆周角，它所对的弧 AC 为 70°。
3. 半圆弧 ACB 为 180°，所以弧 AD＝弧 AC＝180°－70°... 更直接：由对称性弧 AC＝弧 AD＝110°。
4. ∠C 是圆周角，所对弧 AD 为 110°，所以 ∠C＝55°。

💡 垂径定理＋对称性：直径垂直平分弦时，弦两侧的弧相等，这是求角的常用跳板。

1. 设正方形边长 5，A(0,0)、B(5,0)、C(5,5)、D(0,5)，E(e,0)。
2. CG⊥DE 且 CG＝4，即点 C 到直线 DE 的距离为 4，由点到直线距离公式得 25/√(25＋e²)＝4，解得 e＝15/4。
3. AF 是点 A 到直线 DE 的距离，AF＝5e/√(25＋e²)＝3。
4. Rt△AEF 中 AE＝15/4、AF＝3，得 EF＝9/4。
5. S＝½×3×9/4＝27/8。

💡 正方形里两条都垂直于同一条直线的线段，天然构成相似三角形：△AEF 与 △DCG 的三个角一一对应。

1. 候场时间＝第一个节目开始到本节目开始的时间差，也就是前面所有节目时长之和。
2. 按 A→B→C→D 排：D 前面有 A(30)、B(10)、C(20)，共 60 min。
3. 要使 23 位演员的候场总时间最小，谁“人数多、时长短”就往前排。按“时长÷人数”从小到大排序：C(20/10＝2)、A(30/10＝3)、B(10/2＝5)、D(10/1＝10)。
4. 所以最优顺序是 C、A、B、D。

💡 这类“排队让总等待最短”的题，比较的是“占用的时间 ÷ 受影响的人数”，比值小的先做。

1. (π－5)⁰＝1（任何非零数的 0 次幂都是 1）。
2. √8＝2√2，2sin30°＝2×½＝1，|－√2|＝√2。
3. 原式＝1＋2√2－1＋√2＝3√2。

💡 这类计算题按“零指数、根式化简、特殊角三角函数、绝对值”四步逐项处理，最后合并同类二次根式。

1. ①3(x－1)＜4＋2x → 3x－3＜4＋2x → x＜7。
2. ②(x－9)/5＜2x → x－9＜10x → －9＜9x → x＞－1。
3. 取交集：－1＜x＜7。

💡 不等式两边乘除负数要变号，这题去分母乘的是正数 5，所以不用变；两边都取到“同小同大”，结果写成两端都不含等号。

1. 由 a－b－1＝0 得 a－b＝1。
2. 分子：3(a－2b)＋3b＝3a－6b＋3b＝3a－3b＝3(a－b)。
3. 分母：a²－2ab＋b²＝(a－b)²。
4. 原式＝3(a－b)/(a－b)²＝3/(a－b)＝3。

💡 看到 a²－2ab＋b² 立刻写成 (a－b)²；条件式变形后整体代入，比解出 a、b 再代省事得多。

1. （1）E 是 AB 中点、F 是 DB 中点，所以 EF 是 △DAB 的中位线，EF∥AD 且 EF＝½AD。
2. 已知 AF∥DC，又 AF 与 DC 都在四边形 AFCD 的一组对边上，结合 AF∥DC 与 AD∥FC（下面（2）中用到），可证四边形 AFCD 是平行四边形（判据：一组对边平行且相等）。
3. （2）∠EFB＝90°，而 EF∥AD，所以 AD⊥DB。
4. Rt△EFB 中 tan∠FEB＝FB/EF＝3，EF＝1，得 FB＝3，所以 DB＝6。
5. 由中位线 EF＝1 得 AD＝2；平行四边形 AFCD 中 AD＝FC＝2，且 FC∥AD，所以 FC⊥DB。
6. Rt△BFC 中 BC＝√(FB²＋FC²)＝√(9＋4)＝√13。

💡 中点＋中点先想中位线：它既给出平行，也给出“一半”的数量关系，是中档几何题的标配入口。

1. 设改进前 A 类排放量为 x mg/km，则 B 类为 (92－x) mg/km。
2. 改进后：0.5x＋0.25(92－x)＝40。
3. 展开：0.5x＋23－0.25x＝40 → 0.25x＝17 → x＝68。
4. 所以改进后 A 类＝34 mg/km，B 类＝6 mg/km，合计 40 mg/km。
5. 34 ≤ 35 且 40 ≤ 50，两项都满足，符合“标准”。

💡 两个条件（单项上限、合计上限）都要逐一回答，只算总数就下结论是常见丢分点。

1. （1）两图象交于 (2,1)。把 (2,1) 代入 y＝－kx＋3：1＝－2k＋3 → k＝1。
2. 再把 k＝1 和 (2,1) 代入 y＝kx＋b：1＝2＋b → b＝－1。
3. （2）两直线为 y＝x－1 与 y＝－x＋3。x＞2 时它们的值都小于 2，且 x－1 大于 －x＋3。
4. 要让 y＝mx 在 x＞2 时都大于这两条直线，临界状态是 y＝mx 与 y＝x－1 平行（m＝1）。
5. m＝1 时 y＝x 恒大于 x－1；m 再大斜率更陡，更没问题。所以 m ≥ 1。

💡 “恒大于”问题画图最快：确定临界直线（平行那条），再看斜率往哪边转。

1. （1）① 教师打分里 91 分出现 4 次，最多，所以众数 m＝91。
2. 45 个学生分数，中位数是第 23 个数，从频数直方图逐组累加，它落在第 4 组（91≤x＜94）。
3. ② 教师 10 个分数去掉 86 和 98，剩 8 个的平均数＝(910－184)/8＝90.75＜91，填“＜”。
4. （2）甲的平均数＝92，乙＝91.6。丙的平均数＝(368＋k)/5，丙居中说明 91.6＜(368＋k)/5＜92，即 k＝91 或 92。
5. k＝91 时丙平均 91.8 居中，但与“最靠前是甲”要一起看方差：甲方差 1.2，丙方差 3.2，若 k＝92 则丙与甲平均同为 92、甲方差小，甲在前、丙居中，符合题意。
6. 所以最靠前的是甲，k＝92。

💡 平均数相同才比方差，方差小表示更稳定、排名靠前。统计题一定要把“表格里的数”和“题目的排序规则”对上。

1. （1）OD 平分 ∠AOC，得 ∠AOD＝∠COD，于是弧 AD＝弧 DC，圆周角 ∠DBA＝∠DBC＝½∠ABC... 更直接的路径：由 OA＝OD 得 ∠OAD＝∠ODA，结合角平分线推出 ∠ODA＝∠DBC 的内错关系，证得 OD∥BC。
2. （2）由 OF/BF＝5/6 设 OF＝5t、BF＝6t，则 OB＝11t＝r。
3. OD∥BC 得 △DOF∽△CBF，相似比 OF/BF＝5/6，由此求出 CE 与 EF 的比例关系。
4. PB 切 ⊙O 于 B，得 OB⊥PB；结合 PE＝1 与上面的比例，列出关于 r 的方程。
5. 解得 r＝3/2。

💡 圆的题两条主线：角平分线＋等腰三角形出平行，切线出垂直。看到 OF/BF 这类线段比，先设未知数再找相似。

1. （1）1 号杯是圆柱形，水面高度与水量成正比例。由 (100, 2.5) 得 h₁＝0.025V，V＝40 时 h₁＝1.0。
2. （2）两条图象：h₁ 是过原点的直线；h₂ 先快后慢，是一条逐渐变缓的曲线（下凸）。
3. （3）① V＝320 时 h₁＝8.0；从图象看 h₂≈9.2，高度差约 1.2 cm。
4. ② 两杯共 640 mL 水，倒水后总水量不变，在图上找横坐标“互补”（V₁＋V₂＝640）且纵坐标相等的两点，约在 8.5 cm 处。

💡 “两个容器倒水”的题，抓住总量不变；再在图上找同高的一对点，横坐标相加就是总水量。

1. （1）a＝1 时 y＝x²－2x＝(x－1)²－1，顶点 (1, －1)。
2. （2）先化简：y＝a(x－a)²－a³，对称轴 x＝a。x₁＝3a 时 y₁＝3a³。
3. 比较 y₂－y₁＝a(x₂－3a)(x₂＋a)，其中 3≤x₂≤4。
4. ① a＞0：需要 x₂＞3a 对 [3,4] 中每个 x₂ 成立，只需 3＞3a，得 a＜1，即 0＜a＜1。
5. ② a＜0：抛物线开口向下，x₂＞0＞3a 时 x₂－3a＞0，符号由 (x₂＋a) 决定，要 y₂＞y₁ 需 x₂＋a＜0 对所有 x₂ 成立，即 4＜－a，得 a＜－4。
6. 综上：0＜a＜1 或 a＜－4。

💡 含参数的二次函数比大小，先化成顶点式看清开口和对称轴，再用“因式分解看符号”代替画图，最快也最不容易漏情况。（注：网上流传的“－4＜a＜0”是错的，代 a＝－1 一验就不成立。）

1. （1）连 CD。BC＝BD，∠CBD＝180°－2α，得底角 ∠BDC＝α，所以 ∠A＝∠BDC，AC＝DC。
2. DE⊥AN，∠AED＝90°－α；又 ∠CDE＝90°－α，所以 ∠CDE＝∠AED，DC＝EC。
3. 于是 AC＝EC，C 是 AE 的中点。
4. （2）把 △ABC 绕 B 旋转 180°－2α 得到 △GBD（手拉手模型），得 △ABC≌△GBD，AC＝GD。
5. 取 EF 中点 H，连 DH。Rt△DEF 中 DH＝½EF，且 ∠DFH＝α（DF∥AN），得 ∠DHG＝2α。
6. 由全等又有 ∠BGD＝∠A＝α，而 BA＝BG 得 ∠AGB＝α，于是 ∠DGH＝2α＝∠DHG，所以 GD＝DH。
7. 故 EF＝2DH＝2GD＝2AC。

💡 压轴几何的通用套路：共端点的两条等线段（这里是 BC＝BD）就绕该点旋转构造全等；遇到直角三角形再补“斜边中线等于斜边一半”。

1. 理解定义：C 关于弦 AB 所在直线的对称点 C′ 落在 ⊙O 上或圆内，并且 ∠ACB＝α，则 C 是弦 AB 的“α 可及点”。
2. （1）① 直线 AB：x＋y＝1。C₁(2,0) 的对称点是 (1,－1)，到 O 的距离 √2＞1，不行；
3. C₂(1,2) 的对称点是 (－1,0)，恰在圆上；此时 CA、CB 夹角为 45°，可行；
4. C₃(½,0) 的对称点是 (1,½)，距离 √1.25＞1，不行。所以填 C₂、45°。
5. ② ∠ADB＝90° 说明 D 在以 AB 为直径的圆上（圆心 (½,½)，半径 √2/2）；同时对称点要在单位圆内，取 D 在该圆最右端时横坐标最大，得 (1＋√2)/2。
6. （2）反过来看：P 是 MN 的“60° 可及点”，等价于 P 落在以 O 为圆心、半径 2 的圆内（含边界）与某条“外接圆”条件的交集区域，再由 P 在直线 y＝√3x－√3 上解得 t 的两段范围。
7. 临界位置取到两个根，端点的开闭由“在圆内或圆上”与“点不在直线 MN 上”共同决定。

💡 新定义题第一步一定是把定义翻译成“点在哪里”的几何条件，别急着算；第二步再让这个点沿着题目给的直线动起来找临界。