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实际问题与二元一次方程组
会设两个未知数、找两个等量关系列方程组，解决数量与单价一类的实际问题。
① 原理 · 为什么这样算
🔊 朗读
列方程组的四步：设未知数（通常设所求量）、找等量关系（一般两个）、列方程、解并检验。
两个未知数必须配两个独立的等量关系，只有一个关系时，多半还藏着“总数”“总价”这类条件。
常见模型：总价 = 单价 × 数量（两种商品两个方程）；行程问题用路程 = 速度 × 时间；配套问题用“某种数量是另一种的几倍”。
解出的结果要符合实际意义：件数、人数必须是正整数，不符合就说明设的或列的有问题。
② 例题 · 由浅入深
1基础买 2 支甲笔和 3 支乙笔共 23 元，买 3 支甲笔和 2 支乙笔共 22 元，求甲、乙笔的单价。
- 设甲笔 x 元、乙笔 y 元，列方程组：2x + 3y = 23，3x + 2y = 22。
- 两式相加：5x + 5y = 45，x + y = 9。
- 两式相减：x − y = −1，即 y = x + 1。代回 x + y = 9 得 2x + 1 = 9，x = 4，y = 5。
- 所以甲笔 4 元，乙笔 5 元。
2提高甲、乙两数的和是 28，甲数的 2 倍比乙数多 5，求这两个数。
- 设甲为 x、乙为 y：x + y = 28，2x − y = 5。
- 两式相加得 3x = 33，x = 11。
- y = 28 − 11 = 17。所以甲是 11，乙是 17。
3挑战一个长方形的周长是 30 cm，长比宽多 3 cm，求长和宽。
- 设长为 x cm、宽为 y cm：2(x + y) = 30，x − y = 3。
- 由第一式得 x + y = 15，与 x − y = 3 相加得 2x = 18，x = 9。
- y = 6。所以长 9 cm，宽 6 cm。
③ 练一练 · 自动出题 / 判对错 / 看步骤
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📚 精选题库：本知识点共 24 道精选题（点开看题干与答案详解）
1. 买甲、乙两种笔共 11 支，甲每支 3 元、乙每支 2 元，一共花了 28 元。甲种笔买了 ? 支
答案：6
- 设甲 x 支、乙 y 支，则 x + y = 11，3x + 2y = 28
- 由第一式得 y = 11 − x，代入第二式：3x + 2(11 − x) = 28
- 解得 x = 6，y = 5
- 所以甲种笔买了 6 支
2. 买甲、乙两种笔共 4 支，甲每支 4 元、乙每支 8 元，一共花了 20 元。甲种笔买了 ? 支
答案：3
- 设甲 x 支、乙 y 支，则 x + y = 4，4x + 8y = 20
- 由第一式得 y = 4 − x，代入第二式：4x + 8(4 − x) = 20
- 解得 x = 3，y = 1
- 所以甲种笔买了 3 支
3. 买甲、乙两种笔共 8 支，甲每支 5 元、乙每支 2 元，一共花了 31 元。甲种笔买了 ? 支
答案：5
- 设甲 x 支、乙 y 支，则 x + y = 8，5x + 2y = 31
- 由第一式得 y = 8 − x，代入第二式：5x + 2(8 − x) = 31
- 解得 x = 5，y = 3
- 所以甲种笔买了 5 支
4. 买甲、乙两种笔共 7 支，甲每支 3 元、乙每支 8 元，一共花了 26 元。甲种笔买了 ? 支
答案：6
- 设甲 x 支、乙 y 支，则 x + y = 7，3x + 8y = 26
- 由第一式得 y = 7 − x，代入第二式：3x + 8(7 − x) = 26
- 解得 x = 6，y = 1
- 所以甲种笔买了 6 支
5. 买甲、乙两种笔共 10 支，甲每支 5 元、乙每支 6 元，一共花了 54 元。甲种笔买了 ? 支
答案：6
- 设甲 x 支、乙 y 支，则 x + y = 10，5x + 6y = 54
- 由第一式得 y = 10 − x，代入第二式：5x + 6(10 − x) = 54
- 解得 x = 6，y = 4
- 所以甲种笔买了 6 支
6. 买甲、乙两种笔共 6 支，甲每支 5 元、乙每支 2 元，一共花了 21 元。甲种笔买了 ? 支
答案：3
- 设甲 x 支、乙 y 支，则 x + y = 6，5x + 2y = 21
- 由第一式得 y = 6 − x，代入第二式：5x + 2(6 − x) = 21
- 解得 x = 3，y = 3
- 所以甲种笔买了 3 支
④ 举一反三 · 自己出题再算一遍
会了这一类，换个数字再来一道：先自己算，再点「看步骤」核对思路。真正的掌握是能自己出题。
⑤ 拓展 · 挑战
课内知识的延伸与竞赛入门题，题干与解法均据课内方法自行编写。先动笔，再点开详解对照思路；几何题尽量配图。
1课内延伸某车间有 40 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 3 个。已知每天加工的甲、乙两种零件数恰好相等，问安排多少人加工甲种零件。
- 设加工甲种零件 x 人、乙种 y 人：x + y = 40。
- 两种零件数相等：5x = 3y。
- 由 5x = 3y 得 y = 5x/3，代入 x + 5x/3 = 40，得 8x/3 = 40，x = 15。
- 所以安排 15 人加工甲种零件（此时乙种 25 人，5×15 = 3×25 = 75，符合）。
⑥ 各教材版本中的位置
同一个知识点，不同教材版本安排的年级和章节不完全一样。下表中带你版本名的，就是它在你那本课本里的位置：
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